他的话音刚落下，教室里顿时安静。学生们纷纷低头提笔做题。

楚若然手指转著笔尖，视线扫过试题。

【有 6个相同的球，分別標有数字 1， 2， 3， 4， 5， 6，从中有放回的隨机取两次，每次取 1个球。甲表示事件“第一次取出的球的数字是 1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是 2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是 8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是 7”......】

他快速扫过题干，心里把整个样本空间列好：所有可能的结果是有序对(i，j)(i， j)(i，j)，其中 i，j∈{1，2，3，4，5，6}i， j∈\{1，2，3，4，5，6\}i，j∈{1，2，3，4，5，6}，一共 36种情况。

“先算各个事件的概率。”

甲：第一次取出的数字是 1，可能结果有 6种。概率 p(a)=6/36=1/6p(a)=6/36=1/6p(a)=6/36=1/6。

乙：第二次取出的数字是 2，同理概率也是 1/61/61/6。

丙：两次数字和为 8，对应(2，6)、(3，5)、(4，4)、(5，3)、(6，2)(2，6)、(3，5)、(4，4)、(5，3)、(6，2)(2，6)、(3，5)、(4，4)、(5，3)、(6，2)，共 5种，概率 5/365/365/36。

丁：两次数字和为 7，对应(1，6)、(2，5)、(3，4)、(4，3)、(5，2)、(6，1)(1，6)、(2，5)、(3，4)、(4，3)、(5，2)、(6，1)(1，6)、(2，5)、(3，4)、(4，3)、(5，2)、(6，1)，共 6种，概率 6/36=1/66/36=1/66/36=1/6。

他停顿了一下，心里默念：“接下来就看哪些事件是独立的。”

甲和丙——第一次取 1，不可能再和成 8。交集为零，不独立。

甲和丁——第一次取 1，若第二次取 6，刚好和为 7。交集只有一种情况，概率 1/361/361/36。而 p(a)?p(d)=1/6?1/6=1/36p(a)·p(d)=1/6·1/6=1/36p(a)?p(d)=1/6?1/6=1/36，完全相等。独立。

乙和丙——第二次取 2，若想和为 8，第一次必须是 6。概率 1/361/361/36。但 p(b)?p(c)=1/6?5/36=5/216p(b)·p(c)=1/6·5/36=5/216p(b)?p(c)=1/6?5/36=5/216，显然不等，不独立。

丙和丁——一个和是 8，一个和是 7，互斥事件，不独立。

楚若然笔尖写下答案：b（甲与丁相互独立）。

......

【已知点 p(cosθ， sinθ)，q(cos(θ+π/6)， sin(θ+π/6))，若 p、q关於 y轴对称，求满足条件的θ】

“关於 y轴对称就是横坐標变號，(x，y)→(-x，y)。所以条件等价於：cos(θ+π/6)=-cosθ，sin(θ+π/6)= sinθ。

把公式展开：sin(θ+π/6)= sinθ·cos(π/6)+ cosθ·sin(π/6)。

“也就是(√3/2)sinθ+(1/2)cosθ= sinθ。移项：(√3/2 - 1)sinθ+(1/2)cosθ= 0。”

“那就是 cosθ=(2 -√3)sinθ。所以 tanθ= sinθ/cosθ= 1/(2 -√3)。”

“再有理化一下，等於 2 +√3。嗯，tan75°= 2 +√3。所以θ= 5π/12 + kπ， k∈z。”

他又代回第一个条件：cos(θ+π/6)=-cosθ，也完全成立。

楚若然提笔写下：θ= 5π/12 + kπ。

......

“压轴题.....”楚若然看著第22题。

【已知函数 f(x)= x(1 - ln x)

(1)討论 f(x)的单调性；

(2)设 a， b为两个不相等的正数，且 b ln a - a ln b = a - b】

第一问函数单调性，他写下导数：令 f'(x)= 0，即-ln x = 0，解得 x = 1。

当 0 < x < 1时，ln x < 0，所以 f'(x)> 0，函数单调递增；

当 x > 1时，ln x > 0，所以 f'(x)< 0，函数单调递减。

因此，f(x)在(0， 1]上单调递增，在[1，+∞)上单调递减。

“很简单，下一问。”

由条件 b ln a - a ln b = a - b变形可得：(ln a - ln b)/(a - b)= 1/(a b)。

设ξ介於 a与 b之间，由拉格朗日中值定理有：(ln a - ln b)/(a - b)= 1/ξ。

因此 1/ξ= 1/(a b)，即ξ= a b。

1/a + 1/b =(a + b)/(a b)，需证 2 <(a + b)/(a b)< e。

楚若然快速写下：由 f(a)= f(b)及 f(x)的单调性，设 0 < a < 1 < b。

因为 f(1)=1是最大值，f(e)=0，所以 a在(0，1)內，b在(1，e)內。

纸上很快出现一行新的式子：令 u = 1/a，v = 1/b，则 u > 1，v在(1/e， 1)內。

“要证的就是 2 < u + v < e。由 f(a)=f(b)，可得(1/u)(1+ln u)=(1/v)(1+ln v)。”

“整理得到 u(1+ln v)= v(1+ln u)。通过分析函数性质或对称性，可证得 u + v > 2且 u + v < e。”

楚若然长长呼出一口气，在卷子最后写下：因此，2 < 1/a + 1/b < e。

啪——

他放下手里的笔，检查了一遍卷子，確认没有漏题后直接站起身。

“老师，交卷。”

话音落下，教室里瞬间安静。几十双眼睛齐刷刷地抬起头，目光全盯向他。

“臥槽，这么快？”

“我才做倒第一道简答题......”

讲台上的冯宏毅原本低头看资料，听到声音愣了一下，抬头盯著楚若然：“还不到一个小时你就交卷了？”

......